Uno de los problemas de la implementación del método de Newton-Raphson es el de la evaluación de la derivada. Puede que esto no sea un inconveniente para los polinomios y algunas otras funciones, pero existen algunas otras funciones para las cuales la derivada puede ser difícil de evaluar. Además también pudiera darse el caso en que en realidad no contemos con una función como tal sino que solo dispongamos de un conjunto de puntos $(x_i,f(x_i))$ de tal manera que tampoco sería posible obtener de forma analítica la derivada de nuestra función objetivo.Para casos como estos, la derivada su puede aproximar como una diferencia dividida finita regresiva. La derivada se puede aproximar entonces de la siguiente forma:

$$f'(x_i) \cong \frac{f(x_{i-1})-f(x_i)}{x_{i-1}-x_i} \label{ec1}$$


Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación empleada en el método de Newton-Raphson:

$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \label{ec2}$$

Sustituyendo ahora $\eqref{ec1}$ en $\eqref{ec2}$, obtenemos:

$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)(x_{i-1}-x_i)}{f(x_{i-1})-f(x_i)} \label{ec3}$$

De esta forma la ecuación $\eqref{ec3}$ es la formula para el Método de la Secante. Nótese que en este caso a diferencia del método de Newton-Raphson es necesario dos puntos para poder iniciar el método.

Figura: Ilustración de cómo el Método de la Secante se aproxima a la raiz.

Método de la Secante

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%//          Función Secante                     ///
%//        Desarrollada por Jorge De La Cruz     ///
%/                                              ///
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function xr=secante(fun,x0,x1,tol,imax)
x=[x0 x1];
f=eval(fun);
err=tol+1;
n=1;
while (err>tol)&&(n<imax)
    xr=x(1,2)-f(1,2)*(x(1,1)-x(1,2))/(f(1,1)-f(1,2));
    err=abs((xr-x(1,2))/xr);
    error=err*100;
    x(1,1)=x(1,2);
    x(1,2)=xr;
    f=eval(fun);
    fprintf('Iteración: %d, Error: %f, Raiz: %f\n',n,error,xr)
    n=n+1;
end

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