Operador Nabla (Operador Diferencial)

El operador nabla es un operador diferencial muy utilizado en multiples problemas de ingeniería, en este caso especifico en el área de Transferencia de Calor.

El operador nabla opera sobre tensores, vectores y escalares y apuntando siempre en la dirección máxima de cambio de la variable indicando así una derivada direccional.

• En el caso de que nabla opere sobre un escalar (tensor de rango 0), como producto interno obviamente, recibe el nombre de gradiente.
• Nabla operando sobre un vector (tensor de rango 1), en este caso nabla puede operar como producto interno o producto vectorial. En el primero de los casos recibe el nombre de divergencia (el cual está asociado a un balance de flujo del vector sobre el cual opera), mientras que en el segundo de los casos (producto vectorial) recibe del nombre de rotacional.
• Nabla operando sobre un tensor de rango 2 o mayor. Nabla opera sobre tensores de rango 2 o mayores en forma de producto interno, especificando de esta forma un gradiente del tensor, con dimensiones iguales a la del tensor sobre el cual opere.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

En una de los casos donde vemos al operador nabla, es en el caso de la derivación de la ecuación de continuidad la cual es sumamente utilizada en el área de Mecánica de Fluidos.
Partiremos de la ley de la conservación de la materia dentro de un dominio V en un tiempo o momento dado, la cual se expresa de la siguiente manera:

La conservación de masa requiere que la derivada material de "m" sea igual a 0, dicho de otra forma:



De tal modo que tenemos lo siguiente:



Para el caso de fluidos incompresibles no vamos a tener variación en la densidad, por ende el termino de derivada material de la densidad (6) es igual a cero y despejando de la ecuación (7), tenemos:


De esta manera la ecuación (8) es la ecuación de continuidad para flujo incompresible, la cual expresa un balance de flujo del vector velocidad.